摘要：针对一类优化问题，建立了完整的数学模型，并通过整数规划的耦合求解，得到了这类问题的最优解。通过讨论该类问题在目标函数的选取和维度的推广，进一步提升了探究该类问题的深度和广度。提出高中生数学建模能力提升需要数学老师与信息技术老师共同参与的观点，这为能力的培养提供了一种可操作的新思路。
关键词：数学建模；案例研究；整数规划；能力培养
随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布，数学核心素养，尤其是数学建模素养的研究进入了新阶段。以中国知网为例，笔者尝试以“数学建模”与“核心素养”为关键词进行主题搜索，发现发文量在2019年出现井喷式增长，达到113篇。同时，2020年，发文量也达到了105篇。这对比于2017年（26篇）、2018（22篇）年有了显著的增长。在这些文章中，既有对针对教师的教材教法研究，也有对学生的认知与学习研究。譬如，黄健[1]等人系统地回顾了20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展。其工作指出，数学模型一词自1996年首次提出后得到了长足的发展，逐步从不完备的“四阶段循环”发展成较为成熟的“七阶段循环模型”。但是自21世纪以来，数学建模的发展也存在着高中阶段与义务教育阶段的不平衡性和缺乏情感态度描述等问题。郑叶群[2]在总结了数学建模含义、作用和过程的基础上，从引导建模设计、建模融入教学、开展建模活动、注重学科联系四方面宏观地讨论了高中数学核心素养渗透于课堂教学的措施。彭乃霞[3]等人以人教版教材中“货舱进出港时间问题”的三角模型为例，详细讨论了数学建模过程的教学设计并且提出建模教学的关键在于科学选取素材的观点。王志俊[4]等人通过宜居城市评价、标枪尺寸问题和景区游览路线设计问题等的案例分析，提出了数学建模素材可以从大学生数学建模竞赛中获取的观点。卢建玲[5]结合核心素养的目标建构和学生数学学习认知特点，详细地提出了数学核心素养的建构路径。其工作具体指出强化数学建模教学和培养数学应用能力是擎起核心素养之柱。大多数研究者对数学模型的推导是以自然语言形式表达却并没有给出明确的数学表达形式。这与课程标准中“对现实情景中从数学视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”[6]的描述有着本质区别。本文以一类优化问题为例，具体给出数学模型建构与求解的详细过程，并对该类问题进行深入探究，旨在将新课标中数学建模的能力培养落地生根。
一、问题的提出及分析
本文研究的问题如下：某水管有两种型号，分为A型水管和B型水管。每种管的原料管长有4米和6米两种，其中4米A型水管5000根，6米A型水管9000根，4米B型水管2000根，6米B型水管2000根。根据实际需求，需要截取1.5m的A型水管6500根，1.8m的A管12000根，1.2m的A型水管8000根，1.4m的B型水管6000根，1.7m的B型水管4200根，1m的B型水管2800根。设每种原料水管的价格和长度成正比，请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。众所周知，数学模型通常可以分为微分方程模型、优化模型、初等概率模型、图论模型、评价模型等[7]。区别于其他模型种类，优化模型可以通过“最优”“最佳”等字眼分辨出来，因而该问题就属于优化模型。同时，优化模型又可以继续细分为线性规划、非线性规划、整数规划等。线性规划是高中生最为熟悉的形式，其要求是目标函数与约束条件均是线性形式。二维线性规划是高中教学的重难点，其可以通过图解法(梯度下降法)进行求解，具体方法是通过寻找目标函数的几何意义继而求得最优解。非线性规划较于线性规划，求解的难度更大。但是高中生对于一类具有特殊几何意义的目标函数是会求解的，譬如，几何意义为两点确定的直线的斜率和两点间的距离等。整数规划相较于线性规划与非线性规划，要求变量取值为整数或更为严格的正整数。通常高中教学中，整数规划是先在忽略整数约束的基础上，即在不一定满足整数条件的全局最优解附近寻找最优的整数解。显然，这样一个过程看似在算理上正确，然而在算法上却缺少理论支撑。该问题是针对水管优化下料提出，是一个典型的优化类问题，它涉及到单水管的切割过程和水管间的组合过程。解决方案涉及到上述两个过程的耦合，这便是该问题的困难所在。如果考虑任一过程，则显然都是整数规划，具体表现为单水管的切割问题涉及到一个不等式组的整数求解问题和水管间的组合下料过程。基于提出问题的顺序性，应先解决单水管的切割问题，再基于求解结果进行水管间的组合下料问题。下面对于该问题给出详细的推导过程，以便于读者更好地理解。
二、数学模型的建立与求解
（一）单水管切割模型
单水管切割模型的目标就是对于一个长度的水管按照的要求进行划分割，所以不难得到分割后的长度应该小于或者等于分割前的长度，需要注意的是两者之差就是分割废料。该约束条件如下式所示：&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;（1）这里的是第种水管的个数，并且有。但是如仅有（1）限制，则可能出现一根水管未充分利用的情况。最为极端的就是，即一根水管未切割就是一种切割方案，这显然是不合理的。为此，需要增加限制条件来避免类似的情况发生。不难想到，最佳的切割方式是任意一种水管再多切割一段都不行，即结合（1）和（2），得到一个不等式组，需要注意的是该不等式组关注的是非负整数解。通常可以通过遍历搜索来求解，即检验每一个可能的值。就本题而言，对于的约束条件如下：&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;&;这里的表示取整。该算法是一种经典循环算法，这符合高中生的知识认知水平，也有利于提高其程序设计能力。笔者通过Matlab编程求解，得到米的型水管切割方式如表&;1&;所示。通过修改参数，可以得到其他情况的切割方式。
（二）水管间组合下料模型
在上文中，我们已经顺利地求解出了水管的切割方式。下面就是对于切割方式进行组合，使得各长度的水管总数达到要求。不妨设有种方式，对应的数量为。需要注意的是，这里的为型水管的需求量。同时，注意到对于一种长度的水管总数是有限制的，即所用根数必须小于或等于总数量这样，基于各种数量限制的水管安排就完成了数学模型的建立。但是分量形式的表达过于繁琐，这里基于矩阵理论将其进行整合。不妨令为切割方式矩阵，以表1为例这里的表示矩阵的转置。同样的，数量、需求也可以用矩阵表示，即下面我们寻找目标函数，正如题中所言：寻找经济效果最佳的下料方式，“经济效果最佳”就是本题的目标函数。但是“经济效果最佳”却出现了分歧，譬如，可以理解为使用的总米数最少，也可以理解为总浪费最少。这两种理解方式均具有其合理性，这里采用第一种理解方式，即目标函数为由于本题仅涉及两种规格的水管，就采用以示区别。结合（5）（8）和（9），我们就得到了完整的优化模型，下面就将关注求解。对于整数规划而言，最为普遍的方法就是分支定界法。其基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解空间进行搜索。该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为限界）。在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值的子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑，从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。这种算法一般可以求得最优解[7]。相较于之前的循环算法，分支定界法对于高中生而言更具有启发意义。为了解决该类问题，需要介绍LINGO软件。LINGO是由美国LINDO系统公司(Lindo&;System&;Inc.)推出的求解优化模型的软件，其具有简单的模型表示、方便的数据输入和输出选择、强大的求解器等优势。笔者通过LINGO编程求解得了如表2和表3所示的最终结果。
三、讨论与总结
在上文中，我们详细地介绍了数学模型的建立与求解过程。这样一个解题过程能带给学生、老师怎样的收获是一个值得思考的问题。这种收获不单单是解题能力解题技巧的提升，更为重要的是解题思想的总结。譬如，如何将一个复杂的问题分解为若干个简单问题的组合；在该问题的基础上能否继续延拓；如何将题目与其他题目甚至其他学科建立联系等。这也是本节要讨论的主要问题。正如上文所述，对于题干中“经济最优”的理解产生了歧义，这种歧义势必将对解题产生巨大的影响。但是这两种理解都具有其合理性，如果单纯考虑一个最优而忽略另一个最优，那么对问题的分析和解决就不够透彻。因此，在实际问题中，往往优化目标通常都是由多个目标组成而不是单目标组成的。多目标优化的概念就应运而生了，同时也伴随着一个新的问题，多目标优化问题如何处理。处理方式中最为常见的就是归一化以后进行加权，进而将多目标优化转化为单目标优化处理。同时需要注意的是，多目标优化往往不再关注全局最优解，通常只需要关注局部最优解。同样的，维度方向的拓展也是一个值得思考的问题。本题可数学抽象为线段进行处理，这是一维的情况。这里提出一个新的问题，这样的处理方式能否在平面（二维）和空间（三维）中仍然适用？以二维空间为例，不难将问题抽象为在一个几何图形内放置多个几何图形的问题。其中，一种特殊情况就是在一个矩形内放置多个矩形。进一步分析，不难得到这样的约束条件，各矩形的面积之和小于等于大矩形的面积之和。这里就产生了一个新的问题，矩形有着其固定的形状，即使是面积之和满足条件，也可能存在平面内无法摆放的问题。矩形在空间中的放置方式也存在这不确定性，这也为这类问题增添了不少难度。总的来说，一维的情形在二维、三维下的推广，往往需要添加某些合理的条件继而结论成立。考虑到实际问题的复杂性，模型的求解是问题解决的重点和难点。该过程往往需要计算机辅助，&;这种辅助不仅仅是简单的套用现成的算法，更重要的是针对模型设计并实践一种算法。它将使模型求解简单化，达到从大量烦琐的计算中解放出来的目的。为了促进高中数学建模能力的培养，笔者认为该过程需要数学教师与信息技术教师的共同参与。数学教师对高中数学建模能力的培养应在介绍传统算法的基础上，而信息技术老师应着重培养学生求解模型的算法设计能力。需要注意的是，应结合学生的认知水平，引导学生把握现实世界中研究对象的结构特征，借助系统思维在横向或纵向上将问题的整体分解成层次分明的若干个部分，并根据它们之间的制约关系进行耦合。这也说明了数学建模能力的培养不单单是一种数学化思考问题的培养，更是一种自动化处理问题能力的培养。信息技术教师不仅自身具有更强的编程能力，也对于算法设计和程序实现的教学方法、教学过程也更具经验。同时，基于信息技术课程教学，同学也可以通过实践加深对算法的理解。这对于学生数学建模能力，尤其是模型求解能力的提升有很大的帮助。因此，信息技术老师的参与也尤为重要。综上所述，本文基于水管优化切割问题，建立了一类整数优化模型。通过切割方案和水管安排两个优化模型的耦合，解决了一类经典的一维优化问题。这一过程，既含有高中的方程理论、矩阵理论等相关知识，也涉及到了大学的具体求解方法和数学软件应用。这对于从算理分析到算法分析的转变提供了一个很好的案例。通过对目标函数的分析，引出了多目标优化的概念，继而提出全局最优与局部最优的观念。此外，通过维度推广的分析，得到了该工作需要考虑和处理一些新的问题。最为重要的是，本文提出高中数学建模能力培养需要信息技术老师的参与，这对于高中生数学建模能力的培养和拓展提供了一种可操作的新思路。
参考文献
[1]黄健,鲁小莉,王鸳雨,等.20实际以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展[J].数学教育学报,2019,28(3):18-23.
[2]郑叶群.如何把高中数学建模核心素养渗透与课堂教学[J].教育现代化,2019,6(23):253-254.
[3]彭乃霞,谢辉,徐大刚.高中数学建模素养培养地教学案例分析——以人教版(A)数学必修4三角函数模型之“货船进出港时间问题”为例[J].兴义民族师范学院学报,2019,4(2):76-81.
[4]王志俊,韩苗,邵虎,等.高中数学建模能力训练——案例教学中提高数学素养[J].数学通报,2019,58(9):38-42.
[5]卢建玲.高中学生数学认知特点与数学核心素养的培养路径[J].广西教育学院学报,2019,(06):226-231.
[6]史宁中,王尚志.《普通高中数学课程标准(2017年版)》解读[M].北京:高等教育出版社,2018.
[7]姜启源,等.数学模型(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2011.
作者：金龚逸 陆经纬 朱鹏